Геометрия

Теорема Пифагора

У теоремы Пифагора больше 350 разных доказательств

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

a²+b²=c²

a, b — катеты, с — гипотенуза

Дано ∆ABC, в котором ∠C = 90º

Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H. Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам: ∠ACB =∠CHA = 90º, ∠A — общий.

Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC: ∠ACB =∠CHB = 90º, ∠B — общий.

Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c. Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b. Значит a² = c × HB, b² = c × AH.

Сложим полученные равенства: a² + b² = c × HB + c × AH a² + b² = c × (HB + AH) a² + b² = c × AB a² + b² = c × c a² + b² = c² Теорема доказана.

Следствия

a = √(c² − b²) b = √(c² − a²) c = √(a² + b²)

Важно. В любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Домашнее задание

Задача № 1

Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

Задача № 2

Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?